Dyscypliny matematyki

Dyscypliny matematyki: Przestrzeń prawdopodobieństwa

1. Rachunek prawdopodobieństwa

Ważna dyscyplina matematyki współczesnej, to – obok algebry, topologii, geometrii, logiki – analiza, którą nazwał niegdyś (w 1926 r.) David Hilbert „najkunsztowniej i najpiękniej rozgałęzioną budowlą matematyczną”. Rachunek prawdopodobieństwa natomiast jest istotny, zwłaszcza w zastosowaniach.

Początki jego sięgają XVII stulecia, kiedy to doczekał się pierwszego opracowania (po wcześniejszych już opisach) przez Pierre’a Fermata oraz Blaise’a Pascala. Po kolejnych pracach w następnych wiekach, duży wkład w rozwój teorii prawdopodobieństwa wniósł matematyk rosyjski Andriej Kołmogorow, który dokonał pełnej aksjomatyzacji rachunku w latach trzydziestych XX wieku.

Rachunek prawdopodobieństwa

W otoczeniu Kołmogorowa pracowało wielu matematyków, m.in. Aleksander Chińczyn, który metody prawdopodobieństwa zastosował do rozwiązywania rozmaitych zagadnień teorii informacji, fizyki i teorii masowej obsługi oraz Andriej Markow (starszy), który zapoczątkował badania nad ważną w zastosowaniach dziedziną procesów stochastycznych, zwanych procesami Markowa.

Procesy Markowa to procesy, w których znajomość realizacji w pewnej chwili t pozwala na wyznaczenie związków probabilistycznych dla tej realizacji w chwilach przyszłych (tj. rozkładu prawdopodobieństwa dla chwil późniejszych od chwili t), a dodatkowe informacje o wartościach wcześniejszych niż t nie pozwalają wyciągać żadnych dodatkowych wniosków co do przyszłości. Są to zatem procesy realizowane przez układy zapominające przeszłość. Badania nad tymi procesami zapoczątkował Markow (st.), a największe zasługi dla rozwoju teorii Markowa mają Andriej Kołmogorow i William Feller (matematyk amerykański urodzony w Zagrzebiu, od 1939 r. w USA).

2. Teoria funkcji

Niewątpliwie najbardziej rozbudowanym działem matematyki, który zawdzięcza najwięcej właśnie matematykom europejskim jest współcześnie teoria funkcji, badająca ogromną rozmaitość funkcji (m.in. funkcje rzeczywiste i funkcje zespolone), wykorzystywanych w matematyce, fizyce oraz innych naukach.

3. Matematyka empiryczna

Kolejnym ważnym działem matematyki powstałym w XX w. jest tzw. matematyka empiryczna. Tak nazywają się badania w zakresie matematyki stosowanej, które mają bezpośrednie zastosowania w różnych dziedzinach praktyki. Jednym z jej działów jest teoria fraktali, dyscyplina zbliżona do geometrii, która uściśliła pojęcie wymiaru oraz wprowadziła pojęcie wymiarów ułamkowych. Jej twórcą jest matematyk amerykańsko-francuski urodzony w Polsce – Benoit Mandelbrot. Do „matematyki empirycznej” można też zaliczyć „matematykę informatyczną”, obejmującą teorię informacji, teorie budowania i funkcjonowania komputerów oraz innych urządzeń z zakresu techniki obliczeniowej. Do jej pionierów należy zaliczyć matematyka węgierskiego Johna von Neumanna, który wyemigrował do Ameryki.

4. Matematyka intuicjonistyczna

Pewnym interesującym zjawiskiem było powstanie matematyki oraz logiki intuicjonistycznej, nierespektującej zasady wyłączonego środka oraz pewnych innych środków dowodowych matematyki klasycznej, co prowadziło do istotnego okrojenia matematyki. Była ona dziełem dwóch matematyków i logików holenderskich, Luitzena E. J. Brouwera (od 1912 r. prof. Uniw. Amsterdamskiego), który opracował jej podstawy matematyczne oraz Arenda Heytinga (od 1938 r. prof. Uniw. Amsterdamskiego), który stworzył i zaksjomatyzował intuicjonistyczną logikę.

Dyscypliny matematyki: Logika – Kostka Rubika
Kostka Rubika

5. Inne dyscypliny matematyki

Wielość działów matematyki oraz systemów matematycznych nie daje się całkowicie uporządkować oraz ująć w jednolitą strukturę. W ramach głównych dyscyplin matematycznych, takich jak algebra, analiza, geometria, logika, matematyka empiryczna (stosowana), rachunek prawdopodobieństwa i inne – wyróżniane są bardziej szczegółowe działy.

Częściową udaną próbę hierarchicznego uporządkowania geometrii podjął w 2. poł. XIX w. matematyk niemiecki Christian Felix Klein (prof. uniw. w Erlangen) w tzw. Programie Erlangenckim za pomocą pojęcia grupy.

Inne próby polegały na „sprowadzeniu” całej matematyki lub istotnych jej części do teorii mnogości, arytmetyki lub jakiejś innej teorii matematycznej. Niekiedy towarzyszyły im też usiłowania wyprowadzenia matematyki z logiki, podejmowane przez logicystów (Dedekind, Frege, Russell, Whitehead).

Jednakże nowe odkrycia w matematyce i logice prowadzą często do ścisłych powiązań między rozmaitymi działami i teoriami matematycznymi, także takimi, które wcześniej rozwijały się całkowicie niezależnie od siebie. Duże znaczenie ma przy tym interpretowanie jednej teorii matematycznej w drugiej, polegające na przekładzie pojęć jednej na język drugiej. Prowadzi to do zwielokrotnienia efektów nowych odkryć, które niejako automatycznie prowadzą do odkryć w innych działach matematyki i pozwalają je spajać w jeden niejako organizm.

Proces tego rodzaju łączenia różnych działów matematyki wystąpił już w matematyce greckiej, a nowego impulsu nadali mu francuscy badacze XVII wieku  – René Descartes (Kartezjusz) oraz Pierre Fermat, którzy utożsamiając pojęcie punktu w przestrzeni z uporządkowaną trójką liczb rzeczywistych stworzyli geometrię analityczną i tym samym połączyli arytmetykę liczb rzeczywistych z geometrią. Dzięki tego rodzaju powiązaniom powstają zatem często nowe ważne dziedziny matematyczne.

Dyscypliny matematyki: Geometria – Trójkąt Penrose'a (grafika Eschera)
Trójkąt Penrose’a (grafika Eschera)

Jako kolejny przykład może służyć analiza funkcjonalna, opracowana w I połowie XX wieku przez Davida Hilberta, Stefana Banacha, matematyka węgierskiego Frigyesa Riesza i innych, w pojęciach której są połączone struktury topologiczne ze strukturami algebraicznymi.

W podobny sposób powstały takie dyscypliny o dużym znaczeniu praktycznym, jak:

  • teoria masowej obsługi
  • statystyczna teoria jakości
  • teoria decyzji
  • teoria gier
  • teoria informacji, czy
  • teoria komputerów.

6. Szkoła burbakistów

Warto odnotować działalność szkoły matematycznej grupującej głównie matematyków francuskich, występującej od ok. 1935 r. pod pseudonimem Nicolas Bourbaki. Opublikowana przez burbakistów w latach 50. i 60. seria tekstów akademickich wywarła ogromny wpływ na sposób nauczania matematyki na całym świecie.

Według burbakistów matematyka to nauka o strukturach, rozumianych jako obiekty matematyczne definiowane w terminach nieformalnej teorii mnogości, wśród których wyróżnia się – jako struktury podstawowe – struktury algebraiczne, porządkowe oraz topologiczne. Natomiast do formalnych teorii mnogości zalicza się zaksjomatyzowane ujęcia tej teorii, z których najbardziej znane są teoria mnogości w ujęciu Zermelo – Fraenkla – Skolema oraz w ujęciu J. v. Neumanna – Bernaysa – Gödla.

Iva Kalina, 28.11.2017

Zobacz też inne Wpisy z kategorii: Matematyka

About Achatoja

Kilka słów o autorze.

View all posts by Achatoja →

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *