Dyscypliny matematyki

Dyscypliny matematyki: Przestrzeń prawdopodobieństwa

Ważna dyscyplina matematyki współczesnej, to – obok algebry, topologii, geometrii, logiki – analiza.  David Hilbert nazwał ją kiedyś (w 1926 r.) „najkunsztowniej i najpiękniej rozgałęzioną budowlą matematyczną”. Rachunek prawdopodobieństwa natomiast jest istotny, zwłaszcza w zastosowaniach.

Rachunek prawdopodobieństwa

Początki jego sięgają XVII stulecia, kiedy to doczekał się pierwszego opracowania (po wcześniejszych już opisach). Dokonali tego Pierre Fermat oraz Blaise Pascal. Po kolejnych pracach w następnych wiekach, duży wkład w rozwój teorii prawdopodobieństwa wniósł matematyk rosyjski Andriej Kołmogorow, który dokonał pełnej aksjomatyzacji rachunku w latach trzydziestych XX wieku.

Rachunek prawdopodobieństwa

W otoczeniu Kołmogorowa pracowało wielu matematyków, m.in. Aleksander Chińczyn, który metody prawdopodobieństwa zastosował do rozwiązywania rozmaitych zagadnień teorii informacji, fizyki i teorii masowej obsługi oraz Andriej Markow (starszy), który zapoczątkował badania nad ważną w zastosowaniach dziedziną procesów stochastycznych, zwanych procesami Markowa.

Procesy Markowa to procesy, w których znajomość realizacji w pewnej chwili t pozwala na wyznaczenie związków probabilistycznych dla tej realizacji w chwilach przyszłych. To jest, rozkładu prawdopodobieństwa dla chwil późniejszych od chwili t. Natomiast dodatkowe informacje o wartościach wcześniejszych niż t nie pozwalają wyciągać żadnych dodatkowych wniosków co do przyszłości. Są to zatem procesy, które są realizowane przez układy zapominające przeszłość. Badania nad tymi procesami zapoczątkował Markow (st.), a największe zasługi dla rozwoju teorii Markowa mają Andriej Kołmogorow i William Feller (matematyk amerykański urodzony w Zagrzebiu, od 1939 r. w USA).

Teoria funkcji

Niewątpliwie najbardziej rozbudowanym działem matematyki, który zawdzięcza najwięcej właśnie matematykom europejskim jest współcześnie teoria funkcji. Teoria ta bada ogromną rozmaitość funkcji (m.in. funkcje rzeczywiste i funkcje zespolone), wykorzystywanych w matematyce, fizyce oraz innych naukach.

Matematyka empiryczna

Kolejnym ważnym działem matematyki powstałym w XX w. jest tzw. matematyka empiryczna. Tak nazywają się badania w zakresie matematyki stosowanej, które mają bezpośrednie zastosowania w różnych dziedzinach praktyki. Jednym z jej działów jest teoria fraktali, dyscyplina zbliżona do geometrii, która uściśliła pojęcie wymiaru oraz wprowadziła pojęcie wymiarów ułamkowych. Jej twórcą jest matematyk amerykańsko-francuski urodzony w Polsce – Benoit Mandelbrot. Do „matematyki empirycznej” można też zaliczyć „matematykę informatyczną”. Obejmuje ona teorię informacji, teorie budowania i funkcjonowania komputerów oraz innych urządzeń z zakresu techniki obliczeniowej. Do jej pionierów należy zaliczyć matematyka węgierskiego Johna von Neumanna, który wyemigrował do Ameryki.

Topologia

Topologia: Topologia hierarchiczna
Topologia hierarchiczna

Wielkim osiągnięciem francuskiego matematyka, fizyka, astronoma i filozofa Henri Poincarégo (od 1886 r. profesor Sorbony) było założenie fundamentów pod inny wielki dział matematyki – topologię, naukę pokrewną geometrii („geometria ciągłości”). Powstała na przełomie XIX i XX w. i po dziś dzień jest intensywnie rozwijana, m.in. dla potrzeb fizyki. Poincaré zajmował się z powodzeniem niemal wszystkimi ówcześnie znanymi dziedzinami matematyki. W szczególności przyczynił się do powstania teorii układów dynamicznych. Teoria ta bada w sposób ścisły procesy przemian, jakie zachodzą w różnych układach, zwłaszcza w tzw. układach niestabilnych.

Topologia: Teoria chaosuPewnymi odgałęzieniami tej teorii są teoria bifurkacji (łac. bifurcus – rozdwojony) oraz teoria katastrof. Tę drugą sformułował także francuski matematyk, René Thoma.

Bifurkacja jest to pojęcie stosowane w różnych działach matematyki w sytuacjach, gdy jakiś obiekt zmienia swoje własności, stając zazwyczaj przed dwiema możliwościami dalszych przemian.

Nazwa “bifurkacja” została po raz pierwszy wprowadzona przez Henri Poincarégo w 1885 roku.

Do nieliniowej teorii układów dynamicznych nawiązuje też słynna teoria chaosu. Bada ona zjawiska chaosu deterministycznego, mające miejsce w sytuacjach, gdy „małe przyczyny wywołują duże skutki”. Jest to teoria interdyscyplinarna, która ukształtowała się na pograniczu matematyki, fizyki i niektórych innych nauk.

Inne dyscypliny matematyki

Wielość działów matematyki oraz systemów matematycznych nie daje się całkowicie uporządkować oraz ująć w jednolitą strukturę. W ramach głównych dyscyplin matematycznych, takich jak algebra, analiza, geometria, logika, matematyka empiryczna (stosowana), rachunek prawdopodobieństwa i inne – wyróżniane są bardziej szczegółowe działy.

Częściową udaną próbę hierarchicznego uporządkowania geometrii podjął w 2. poł. XIX w. matematyk niemiecki Christian Felix Klein (prof. uniw. w Erlangen) w tzw. Programie Erlangenckim za pomocą pojęcia grupy.

Inne próby polegały na „sprowadzeniu” całej matematyki lub istotnych jej części do teorii mnogości, arytmetyki lub jakiejś innej teorii matematycznej. Niekiedy towarzyszyły im też usiłowania wyprowadzenia matematyki z logiki, podejmowane przez logicystów (Dedekind, Frege, Russell, Whitehead).

Jednakże nowe odkrycia w matematyce i logice prowadzą często do ścisłych powiązań między rozmaitymi działami i teoriami matematycznymi. Także takimi, które wcześniej rozwijały się całkowicie niezależnie od siebie. Duże znaczenie ma przy tym interpretowanie jednej teorii matematycznej w drugiej, polegające na przekładzie pojęć jednej na język drugiej. Prowadzi to do zwielokrotnienia efektów nowych odkryć, które niejako automatycznie prowadzą do odkryć w innych działach matematyki i pozwalają je spajać w jeden niejako organizm.

Dyscypliny matematyki: Geometria – Trójkąt Penrose'a (grafika Eschera)
Trójkąt Penrose’a (grafika Eschera)

Proces tego rodzaju łączenia różnych działów matematyki wystąpił już w matematyce greckiej. Nowego impulsu nadali mu francuscy badacze XVII wieku  – René Descartes (Kartezjusz) oraz Pierre Fermat. Utożsamili oni pojęcie punktu w przestrzeni z uporządkowaną trójką liczb rzeczywistych i stworzyli w ten sposób geometrię analityczną.  Tym samym, połączyli arytmetykę liczb rzeczywistych z geometrią. Dzięki tego rodzaju powiązaniom powstają zatem często nowe ważne dziedziny matematyczne.

Jako kolejny przykład może służyć analiza funkcjonalna.  Została opracowana w I połowie XX wieku przez Davida Hilberta, Stefana Banacha, matematyka węgierskiego Frigyesa Riesza i innych. W swych pojęciach łączy ona struktury topologiczne ze strukturami algebraicznymi.

W podobny sposób powstały takie dyscypliny o dużym znaczeniu praktycznym, jak:
  • teoria masowej obsługi
  • statystyczna teoria jakości
  • oraz teoria decyzji
  • teoria gier
  • a także teoria informacji
  • czy też teoria komputerów.

Iva Kalina, 28.11.2017

Zobacz też inne Wpisy z kategorii: Matematyka

About Achatoja

Kilka słów o autorze.

View all posts by Achatoja →

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *