Matematyka niestandardowa

Matematyka niestandardowa

Niestandardowa analiza matematyczna

Matematyka niestandardowa (w tym niestandardowa analiza matematyczna oraz niestandardowa teoria mnogości) utworzona w 1960 roku przez Abrahama Robinsona, może nabrać decydującego znaczenia dla dalszego rozwoju fizyki.

Matematyka niestandardowa: Abraham Robinson
     Abraham Robinson

Robinson opracował nowe ujęcie klasycznej analizy matematycznej, nazwane przez niego „analizą niestandardową”. Pozwoliła ona na ścisłe i logicznie bez zarzutu zdefiniowanie takich pojęć, jak wielkości nieskończenie małe i nieskończenie duże, którymi posługiwali się Gottfried Leibniz oraz Izaak Newton, jako twórcy rachunku różniczkowego oraz całkowego.

Niestandardowa teoria mnogości

Z kolei Petr Vopĕnka opracował niestandardową alternatywną teorię mnogości. Matematyka klasyczna (standardowa), a w szczególności analiza, w swoich zastosowaniach fizycznych oparta jest na założeniu, że czasoprzestrzeń tworzy kontinuum czyli zbiór ciągły. Zgodnie z tym

Matematyka niestandardowa: Petr Vopeňka
Petr Vopeňka

założeniem, pomiar coraz mniejszych przedziałów przestrzennych oraz czasowych jest ograniczony jedynie ograniczoną czułością przyrządów pomiarowych, a zasadniczo podział na coraz mniejsze części mógłby przebiegać w nieskończoność. Rachunek różniczkowy i całkowy stanowi matematyczny model tego założenia.

Matematyka niestandardowa rezygnuje z tego modelu, zakładając nieciągłą, dyskretną strukturę czasoprzestrzeni. Z uwagi na idee kwantowe, rozwijane nie tylko w ramach mechaniki kwantowej i kwantowej teorii pola, lecz także w teorii superstrun (odkrycia naukowe w fizyce), może się okazać, że klasyczna (standardowa) analiza matematyczna oparta na rachunku różniczkowym i całkowym, zakładająca ciągłość czasu i przestrzeni, nie nadaje się do adekwatnego opisu zjawisk submikroświata przebiegających na tle dyskretnej (składającej się z kwantów) czasoprzestrzeni.

Rozwój matematyki umożliwia rozwój fizyki

W ogóle należy podkreślić, że dalszy rozwój fizyki – zwłaszcza fizyki teoretycznej – jest niemożliwy bez rozwoju matematyki, o czym może najdobitniej świadczą trudności matematyczne na jakie natknęła się teoria superstrun.

Tak było też dotąd. Na przykład bez rachunku tensorowego, którego podstawy opracowali (w 1900 r.) włoscy matematycy Gregorio Ricci-Curbastro (od 1880 r. prof. uniw. w Padwie) oraz jego uczeń Tulio Levi Civita (od 1902 r. prof. uniw. w Padwie), nie mogłaby powstać OTW (ogólna teoria względności) Natomiast bez przestrzeni Banacha (największego polskiego matematyka) oraz „nadbudowanej” nad nią przestrzeni Hilberta (najwybitniejszego współczesnego matematyka niemieckiego), nie mogłaby powstać mechanika kwantowa.

Iva Kalina, 29.11.2017

Ilustracje

Abraham Robinson – źródlo: Wikimedia Commons
Petr Vopeňka – źródło: Wikimedia Commons

Zob. Wpisy: Rozwój matematyki: system dedukcyjny, teoria mnogości
“Problemy Hilberta”. Odkrycia Gödla
Topologia, synergetyka i cybernetyka
oraz Kategorię: Matematyka

About Achatoja

Kilka słów o autorze.

View all posts by Achatoja →

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *