Matematyka niestandardowa

Matematyka niestandardowa

Matematyka niestandardowa (w tym niestandardowa analiza matematyczna oraz niestandardowa teoria mnogości) utworzona została w 1960 roku przez Abrahama Robinsona. Zwana też analizą niestandardową jest działem matematyki. Przewiduje się, że może ona nabrać decydującego znaczenia dla dalszego rozwoju fizyki.

Niestandardowa analiza matematyczna

Matematyka niestandardowa: Abraham Robinson
Abraham Robinson

 

Robinson opracował nowe ujęcie klasycznej analizy matematycznej, nazwane przez niego „analizą niestandardową”. Pozwoliła ona na ścisłe i logicznie bez zarzutu zdefiniowanie takich pojęć, jak wielkości nieskończenie małe i nieskończenie duże. Pojęciami tymi posługiwali się też Gottfried Leibniz oraz Izaak Newton, jako twórcy rachunku różniczkowego oraz całkowego.

Abraham Robinson (1918–1974), to matematyk żydowskiego pochodzenia, od lat sześćdziesiątych przebywający w Ameryce. Zajmował się też matematyką stosowaną, analizą, algebrą oraz logiką matematyczną. Wniósł też duży wkład w opracowanie teorii modeli. Interesował się ponadto historią filozofii i filozofią matematyki, być może dlatego zainteresował się problemem, który zaprzątał umysły Leibniza i Newtona.

Niestandardowa teoria mnogości

Z kolei Petr Vopĕnka (1935–2015) opracował niestandardową alternatywną teorię mnogości. Była to teoria alternatywna do teorii mnogości Georga Cantora. Czeski matematyk interesował się też filozofią matematyki; pełnił również funkcję ministra edukacji. Matematyka klasyczna (standardowa), a w szczególności analiza, w swoich zastosowaniach fizycznych opiera się na założeniu, że czasoprzestrzeń tworzy kontinuum. Czyli zbiór ciągły.

Matematyka niestandardowa: Petr Vopeňka
Petr Vopeňka

Zgodnie z tym założeniem, pomiar coraz mniejszych przedziałów przestrzennych oraz czasowych jest ograniczony jedynie ograniczoną czułością przyrządów pomiarowych. A zasadniczo podział na coraz mniejsze części mógłby przebiegać w nieskończoność. Rachunek różniczkowy i całkowy stanowi matematyczny model tego założenia.

Matematyka niestandardowa rezygnuje z tego modelu, zakładając nieciągłą, dyskretną strukturę czasoprzestrzeni. Z uwagi na idee kwantowe, rozwijane nie tylko w ramach mechaniki kwantowej i kwantowej teorii pola, lecz także w teorii superstrun, może się okazać, że klasyczna (standardowa) analiza matematyczna oparta na rachunku różniczkowym i całkowym, zakładająca ciągłość czasu i przestrzeni, nie nadaje się do adekwatnego opisu zjawisk submikroświata przebiegających na tle dyskretnej (składającej się z kwantów) czasoprzestrzeni.

Matematyka intuicjonistyczna

Pewnym interesującym zjawiskiem w rozwoju matematyki było powstanie matematyki oraz logiki intuicjonistycznej. Ta ostatnia nie respektuje zasady wyłączonego środka oraz pewnych innych środków dowodowych matematyki klasycznej. A to prowadziło do istotnego okrojenia matematyki. Była ona dziełem dwóch holenderskich matematyków i logików. Pierwszy, to Luitzen E. J. Brouwer (od 1912 r. prof. Uniw. Amsterdamskiego), który opracował jej podstawy matematyczne. Drugi z kolei, to Arend Heyting (od 1938 r. prof. Uniw. Amsterdamskiego), który stworzył i zaksjomatyzował intuicjonistyczną logikę.

Szkoła burbakistów

Na koniec warto odnotować działalność szkoły matematycznej, która grupowała przede wszystkim matematyków francuskich, począwszy od ok. 1935 r. Z tego względu, że szkoła ta występowała pod pseudonimem: Nicolas Bourbaki, została nazwana szkołą burbakistów. Opublikowana przez burbakistów w latach 50. i 60. seria tekstów akademickich wywarła ogromny wpływ na sposób nauczania matematyki na całym świecie.

Według burbakistów matematyka to nauka o strukturach, rozumianych jako obiekty matematyczne definiowane w terminach nieformalnej teorii mnogości. Wśród nich wyróżnia się – jako struktury podstawowe – struktury algebraiczne, porządkowe oraz topologiczne. Natomiast do formalnych teorii mnogości zalicza się zaksjomatyzowane ujęcia tej teorii, z których najbardziej znane są teoria mnogości w ujęciu Zermelo – Fraenkla – Skolema oraz w ujęciu J. v. Neumanna – Bernaysa – Gödla.

Iva Kalina, 29.11.2017

Ilustracje

Abraham Robinson – źródlo: Wikimedia Commons
Petr Vopeňka – źródło: Wikimedia Commons

Zob. Wpisy: Rozwój matematyki: system dedukcyjny, teoria mnogości
Podstawy matemayki: David Hilbert, Kurt Gödel
oraz Kategorię: Matematyka

About Achatoja

Kilka słów o autorze.

View all posts by Achatoja →

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *