“Problemy Hilberta”. Odkrycia Gödla (Ma2)

Problemy Hilberta: Przestrzeń

“Problemy Hilberta”

“Problemy Hilberta”, to 23 główne nierozwiązane problemy, przed którymi stoi matematyka. Sformułował je niemiecki matematyk David Hilbert, profesor Uniwersytetu w Getyndze, na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków, w 1900 r. w Paryżu.

Rozwiązanie (a zwłaszcza rozwiązywanie) tych problemów powinno – zdaniem Hilberta – istotnie ożywić badania matematyczne.

Problemy Hilberta: David Hilber
      David Hilbert

I rzeczywiście wiele dyscyplin matematycznych powstało w związku z ich rozwiązywaniem. Przy tym „problemy Hilberta” okazały się heurystycznie bardzo płodne: wiele z nich zostało rozwiązanych, co doprowadziło jednak do nowych problemów. W ten sposób „problemy Hilberta” odegrały wielką rolę w kształtowaniu współczesnej problematyki badawczej w matematyce.

Zdaniem Hilberta, w matematyce nie mamy do czynienia z żadnym ignorabimus (tym, co niepoznawalne), gdyż każdy (dobrze określony) problem matematyczny daje się wcześniej czy później rozwiązać. W tym celu należy jedynie całą matematykę skodyfikować i sformalizować, tzn. nadać jej ścisłą postać formalną, postać zaksjomatyzowanych i sformalizowanych systemów dedukcyjnych, w których z twierdzeń wyjściowych (aksjomatów) oraz definicji daje się za pomocą reguł logiki wyprowadzić wszystkie twierdzenia matematyczne.

Próba połączenia matematyki z logiką

Ważnym wydarzeniem w matematyce było ukazanie się w latach 1910–1913 fundamentalnego trzytomowego dzieła dwóch matematyków, logików i filozofów angielskich Bertranda Russella oraz Alfreda Northa Whiteheada, zatytułowanego Principia Mathematica. Było to dzieło z zakresu podstaw matematyki, zmierzające do połączenia logiki z matematyką, zgodnie z założeniami logicyzmu, dążącego do wyprowadzenia całej matematyki z logiki.

Odkrycia Gödla 

Problemy Hilberta: Kurt Gödel
                          Kurt Gödel

Od razu warto odnotować, że odwołując się do tego dzieła genialny matematyk austriacki Kurt Gödel (od 1940 r. w USA, od 1953 r. profesor Instytutu Studiów Zaawansowanych w Princeton) na początku lat 30-tych XX w. dokonał trzech wielkich odkryć, wykazujących, że – wbrew powszechnym przekonaniom – wszystkie systemy dedukcyjne zawierające arytmetykę liczb naturalnych są:

(1) niezupełne,
(2) nierozstrzygalne oraz
(3) nie posiadają wewnętrznych („absolutnych”) dowodów niesprzeczności.

Niezupełność takiego systemu polega na istnieniu zdań, które chociaż są sensowne, nie mogą być ani udowodnione, ani obalone. Co więcej, nie ma algorytmu, który pozwalałby dla każdego zdania sprawdzić w skończonej liczbie kroków czy jest ono twierdzeniem, czy nie. Znaczyło to w szczególności, że w aparacie pojęciowym każdego takiego systemu (matematycznego lub logicznego) można sformułować takie twierdzenia intuicyjnie prawdziwe, które nie wynikają z aksjomatów tego systemu, a zatem nie są na jego podstawie dowodliwe, a których jednocześnie nie można obalić, gdyż nie są z nim sprzeczne.

Z kolei niemożność przeprowadzenia wewnętrznego dowodu niesprzeczności systemu polega na tym, że aby wykazać niesprzeczność tego systemu trzeba się odwołać do innego systemu, który również nie posiada wewnętrznego dowodu niesprzeczności.

W ten sposób okazało się, że słynny program Hilberta – program pełnej aksjomatyzacji i formalizacji całej matematyki – nie daje się zrealizować. Zgodnie z tym programem aksjomatyzacja i formalizacja matematyki oraz poszczególnych jej działów miała polegać na tym, że dla każdego systemu dedukcyjnego podaje się

  • po pierwsze, pełny zestaw aksjomatów, czyli twierdzeń pierwotnych systemu oraz
  • po drugie, pełny zestaw reguł dedukcji, na mocy których wszystkie twierdzenia pochodne (tezy) systemu można niezawodnie wyprowadzić z aksjomatów (oraz definicji).

Z odkryć Gödla wynikało, że żaden dostatecznie pojemny system formalny nie jest wystarczająco mocny, by można było na jego podstawie dowieść lub obalić każde twierdzenie dające się w jego języku sformułować. Gödel wykazał, mówiąc językiem Hilberta, że w matematyce zawsze jest miejsce na ignorabimus, czyli na to, co niepoznawalne. Można bowiem wprawdzie zawsze zbudować taki mocniejszy system, który rozstrzygnie twierdzenia nierozstrzygalne na płaszczyźnie poprzedniego systemu, jednakże z kolei w jego języku można zbudować nowe twierdzenia, nierozstrzygalne za pomocą jego środków.

Iva Kalina, 07.09.2017, 23:37

Ilustracje

David Hilbert – źródło: Wikimedia Commons
Kurt Gödel –  źródło: Wikimedia Commons

About Achatoja

Kilka słów o autorze.

View all posts by Achatoja →

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *