Topologia w matematyce, synergetyka i cybernetyka (Ma3)

Topologia

Metamatematyka

David Hilbert w fundamentalnym dziele Podstawy geometrii (1899 r.) podał pełną aksjomatykę geometrii Euklidesa, pokazując jednocześnie, że system samego Euklidesa (wyłożony w jego Elementach) zawierał cały szereg założeń ukrytych (implicite), nie sformułowanych dotąd ani przez samego twórcę, ani przez jego następców.

Podobnie Richard Dedekind oraz Giuseppe Peano dokonali aksjomatyzacji arytmetyki liczb naturalnych. Zasługą Hilberta jest też stworzenie nowego działu matematyki zwanego metamatematyką. Jest to nauka o podstawach matematyki. Można ją też nazwać nauką o matematyce. Zajmuje się ona badaniem systemów dedukcyjnych. Hilbert określił ją jako naukę o dowodzeniu matematycznym (jako teorię dowodów sformalizowanych), a samą matematykę nazwał systemem formuł dowodliwych.

Hilbert jest też twórcą pojęcia przestrzeni Hilberta. Przestrzeń Hilberta, wprowadzona na przełomie XIX i XX w., stanowiąca naturalne uogólnienie przestrzeni euklidesowej, znajduje szerokie zastosowanie w matematyce (w teorii funkcji rzeczywistych, teorii równań różniczkowych i całkowych) oraz w fizyce (w mechanice kwantowej oraz kwantowej teorii pola). Stanowi ona jedno z podstawowych pojęć analizy funkcjonalnej.

Jego badania w zakresie teorii równań różniczkowych, podstaw matematyki, podstaw fizyki matematycznej, teorii niezmienników, teorii liczb oraz rachunku wariacyjnego wywarły ogromny wpływ na rozwój współczesnej matematyki.

Topologia

Topologia: Topologia hierarchiczna
Topologia hierarchiczna

Wielkim osiągnięciem francuskiego matematyka, fizyka, astronoma i filozofa Henri Poincarégo (od 1886 r. profesor Sorbony) było założenie fundamentów pod inny wielki dział matematyki – topologię, naukę pokrewną geometrii („geometria ciągłości”), powstałą na przełomie XIX i XX w., po dziś dzień intensywnie rozwijaną m.in. dla potrzeb fizyki. Poincaré zajmował się z powodzeniem niemal wszystkimi ówcześnie znanymi dziedzinami matematyki. W szczególności przyczynił się do powstania teorii układów dynamicznych, badającej w sposób ścisły procesy przemian zachodzące w różnych układach, zwłaszcza w tzw. układach niestabilnych.

Topologia: Teoria chaosuPewnymi odgałęzieniami tej teorii są teoria bifurkacji (łac. bifurcus – rozdwojony) oraz teoria katastrof sformułowana przez innego francuskiego matematyka René Thoma. Bifurkacja jest to pojęcie stosowane w różnych działach matematyki w sytuacjach, gdy jakiś obiekt zmienia swoje własności, stając zazwyczaj przed dwiema możliwościami dalszych przemian.

Nazwa “bifurkacja” została po raz pierwszy wprowadzona przez Henri Poincarégo w 1885 roku.

Do nieliniowej teorii układów dynamicznych nawiązuje też słynna teoria chaosu, badająca zjawiska chaosu deterministycznego, mające miejsce w sytuacjach, gdy „małe przyczyny wywołują duże skutki”. Jest to teoria interdyscyplinarna, ukształtowana na pograniczu matematyki, fizyki i niektórych innych nauk.

Synergetyka i cybernetyka

Taki interdyscyplinarny (wykraczający poza czystą matematykę) charakter posiada też synergetyka, określana mianem teorii samoorganizacji. Opiera się ona na założeniu, że współpraca wielu podsystemów jakiegokolwiek systemu jest podporządkowana tym samym prawom, niezależnie od natury elementów.

                    Cybernetyka. Ramię robota

Najważniejszą zaś dyscypliną interdyscyplinarną, wyrosłą na podstawie matematyki, fizyki oraz wielu innych nauk jest cybernetyka – nauka o sterowaniu i łączności w żywych organizmach i maszynach – której głównym twórcą jest wprawdzie matematyk amerykański Norbert Wiener, ale która ma licznych wybitnych przedstawicieli także w Europie, a jednym z najwybitniejszych jest matematyk rosyjski Andriej Kołmogorow.

Matematyka jakościowa

Znamienną cechą współczesnej matematyki jest okoliczność, że nie ogranicza się ona do badania „stosunków ilościowych oraz przestrzennych” (tak określano przedmiot matematyki jeszcze w XIX w.), lecz przystąpiła także do ścisłego opisu aspektów jakościowych zjawisk. W rezultacie powstała tzw. matematyka jakościowa, której najbardziej znanym przykładem jest teoria grafów. Jest to dział matematyki, którego przedmiotem badań są grafy, tzn. obiekty matematyczne składające się z wierzchołków i krawędzi, łączących w pary niektóre z tych wierzchołków.

Jej początki sięgają XVIII w. Współczesna teoria grafów jest ściśle związana z topologią, algebrą liniową i teorią gier. Ma wiele zastosowań w różnych dziedzinach nauki i techniki – przy rozważaniu wszelkich zagadnień możliwych do zinterpretowania w postaci grafu.

Matematyka jakościowa stwarza nadzieje na szerokie zastosowanie w naukach społeczno-humanistycznych, zjawiska społeczne bowiem mają wyraźnie zaznaczony charakter jakościowy.

Iva Kalina, 07.08.2017

Zob. inne Wpisy w kategorii: Matematyka

About Achatoja

Kilka słów o autorze.

View all posts by Achatoja →

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *